KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 DETERMINAN MATRIKS ORDO 3 X 3
A. Tujuan Pembelajaran
Setelah kegiatan pembelajaran 2 ini diharapkan siswa mampu:
1. menentukan determinan matriks ordo 3x3 dengan menggunakan Metode Sarrus dan metode kofaktor
2. Menyimpulkan sifat-sifat yang berlaku pada determinan matriks.
B. Uraian Materi
1. Determinan Matriks berordo 3 x 3
Cermati permasalahan berikut:
Sebuah perusahaan penerbangan menawarkan perjalanan wisata ke negara A, perusahaan tersebut mempunyai tiga jenis pesawat yaitu Airbus 100, Airbus 200, dan Airbus 300. Setiap pesawat dilengkapi dengan kursi penumpang untuk kelas turis, ekonomi, dan VIP. Jumlah kursi penumpang dari tiga jenis pesawat tersebut disajikan pada tabel berikut.
Perusahaan telah mendaftar jumlah penumpang yang mengikuti perjalanan wisata ke negara A seperti pada tabel berikut :
Berapa banyak pesawat masing-masing yang harus dipersiapkan untuk perjalanan tersebut?
Penyelesaian:
Untuk memudahkan kita menyelesaikan masalah ini, kita misalkan:
x = banyaknya pesawat Airbus 100
y = banyaknya pesawat Airbus 200
z = banyaknya pesawat Airbus 300
Sistem persamaan yang terbentuk adalah:
50x + 75y + 40z = 305
30x + 45y + 25z = 185
32x + 50y + 30z = 206
Apabila kita tuliskan dalam bentuk matriks, maka persamaan matriks nya adalah:
Sebelum ditentukan penyelesaian masalah di atas, terlebih dahulu kita harus periksa apakah matriks A adalah matriks tak singular (Non singular).
Pada pembahasan sebelumnya kita sudah membahas tentang cara mencari determinan matriks yang berordo 2 x 2. Sekarang pembahasannya kita lanjutkan tentang bagaimanakah mencari determinan suatu matriks yang berordo 3 x 3 ?
2. Mencari determinan ordo 3x3 dengan Metode Sarrus
Sebenarnya ada beberapa cara untuk mencari determinan matriks, tetapi untuk pembahasan kita kali ini kita hanya akan membahas tentang menghitung determinan matriks yang berordo 3 x 3 dengan memakai metode Sarrus.
Baik sebelum kita lanjut ke materi pokoknya, kita berkenalan dulu dengan struktur matriks berordo 3 x 3. Apa sih yang dimaksud dengan matriks yang berordo 3 x 3 ? Matriks 3 x 3 artinya matriks yang jumlah barisnya sebanyak tiga dan jumlah kolomnya juga sebanyak tiga. Secara lengkap matriks 3 x 3 bisa dilihat di bawah ini:
Atau jika ditulis sesuai dengan identitas baris dan kolomnya, maka penulisan matriks A diatas dapat ditulis dengan:
Dan untuk mencari determinannya maka matriks di atas kita keluarkan dua kolom pertama yaitu kolom pertama dan kolom kedua kita keluarkan menjadi
Setelah dua kolom pertama tadi kita keluarkan, kemudian kita tarik garis diagonal yang menghubungkan tiap tiga elemen seperti gambar. Garis yang rebah dari kiri atas ke kanan bawah kita berikan tanda “+” plus, dan sebaliknya garis diagonal yang rebah dari kanan atas ke kiri bawah kita berikan tanda “-“ minus.
Selanjutnya determinan dihitung dengan mengalikan tiap garis yang segaris - maksudnya berada dalam satu garis diagonal – dan memberikan tanda sesuai dengan tanda dibawah garis.
Kelihatannya abstrak sekali kalau kita melihat rumus – rumusnya saja. Baiklah kita langsung saja sekarang kita lihat dan selesaikan soal permasalahan di atas dengan persamaan matriksnya:
Untuk menentukan nilai x, y, dan z kita akan menggunakan determinan matriks sebagai cara menyelesaikan permasalahan tersebut
Sehingga dari hasil perhitungan dengan menggunakan determinan, diperoleh kesimpulan, banyaknya pesawat Airbus 100 yang disediakan sebanyak 3 unit, banyaknya pesawat Airbus 200 yang disediakan sebanyak 1 unit, dan banyaknya pesawat Airbus 300 yang disediakan sebanyak 2 unit.
3. Metode (Cara) Kofaktor
Setelah kita membahas tentang mencari determinan menggunakan Metode Sarrus, berikutnya kita akan membahas tentang mencari determinan dengan menggunakan Metode Kofaktor suatu matriks yang berordo 3x3.
Baiklah kita langsung saja ke pokok bahasannya. Yang pertama kita bahas tentang kofaktor suatu matriks.
Kofaktor suatu matriks dirumuskan sebagai −1 pangkat baris ditambah kolom elemen minor dari matriks bersangkutan. Secara matematis dirumuskan sebagai :
Contoh :
Jawab :
Sekarang bagaimana dengan Adjoinnya? Kita langsung mencari adjoin matriks A di atas. Tetapi terlebih dulu kita bahas secara singkat apa sih yang dimaksud dengan adjoin ?
Adjoin merupakan transfose dari kofaktor matriks A. secara matematis dirumuskan sebagai :
Jika kita mau mencari adjoin sebuah matriks, maka terlebih dulu kita cari minornya dulu, setelah itu dari minor ini kita akan mendapatkan matriks kofaktor.
Kemudian kofaktor ini kita transfusikan itulah adjoin sebuah matriks, dalam kalimat tadi ada kata transfose, apa yang dimaksud dengan matriks transfose ?
Matriks transfose adalah matriks yang urutan baris diubah menjadi kolom dan kolom menjadi baris.
Dari soal di atas , maka kita bisa menentukan adjoinnya adalah sebagai berikut :
Sekarang bagaimana kalau matriksnya berordo 3 x 3?
Kita perhatikan contoh di bawah ini !
Contoh :
Tentukanlah Kofaktor dan Adjoin dari matriks berikut :
C. Rangkuman
1. Matriks Singular adalah Matrisk yang determinannya sama dengan Nol dan tidak mempunyai matriks Inversnya.
2. Matriks Nonsingular adalah matriks yang determinannya tidak sama dengan Nol, dan mempunyai matriks Inversnya.
3. Determinan matriks berordo 3 x 3 dengan metode (cara) Sarrus
4. Metode (cara) Kofaktor
a. Dalam determinan, minor-kofaktor yang dihitung hanya terbatas pada baris atau kolom tertentu saja dan biasa disebut ekspansi baris dan ekspansi kolom.
b. Sedangkan dalam invers, kita harus menghitung sembilan elemen minor dan kofaktor sampai diperoleh matriks baru yaitu matriks minor dan matriks kofaktor
c. Minor adalah determinan submatriks persegi setelah salah satu baris dan kolomnya dihilangkan.
d. Minor dilambangkan dengan “M𝐢𝐣” dimana “i” sebagai baris dan “j” sebagai kolom matriks yang dihilangkan.
e. Baris dan kolom dihilangkan bukan berarti dibuang, akan tetapi baris dan kolom tersebut hanya tidak diikutsertakan dalam submatriks yang baru.
f. Submatriks artinya bagian kecil dari matriks, sedangkan matriks persegi adalah matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolom atau sebut saja berordo nxn.
Misalnya matriks persegi 3×3 maka submatriksnya berordo 2×2.
g. Jadi, menghitung minor matriks 3×3 adalah menghitung determinan submatriks 2×2
h. Kofaktor suatu matriks dirumuskan sebagai −1 pangkat baris ditambah kolom elemen minor dari matriks bersangkutan. Secara matematis dirumuskan sebagai:
D. Latihan Soal
Latihan Soal Essay
KIRIMKAN JAWABAN ANDA KEPADA GURU MELALUI WHATSAPP
